Matlab实现FFT变换

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Matlab实现FFT变换

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Matlab实现FFT变换原理实现手算验证简单fft变换和频谱求取功率谱 结论
在信号处理中，快速傅里叶变换（FFT）是一种非常常见的频域分析方法。本文将介绍如何使用Matlab实现FFT变换，并通过Matlab代码演示实际输出结果。

原理

FFT是一种计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。DFT将时域上的信号转换为频域上的信号，可以用以下公式表示：

X k = ∑ n = 0 N − 1 x n e − i 2 π k n / N X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-i2\pi kn/N} Xk​=n=0∑N−1​xn​e−i2πkn/N

其中， x n x_n xn​是时域上的信号序列， X k X_k Xk​是频域上的信号序列， k k k为频率编号（ 0 ≤ k < N 0\leq k < N 0≤k<N）， N N N为信号长度。

FFT算法通过分治策略将DFT算法的计算复杂度从 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)降低到 O ( N l o g 2 N ) O(Nlog_2N) O(Nlog2​N)，从而实现了在计算机上快速计算DFT的目的。

实现

手算验证

在这里，我们将给出一个简单的例子来说明如何使用Matlab进行FFT变换。我们首先生成一个简单的数组：

x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];

接下来，我们使用Matlab内置的fft函数对这个数组进行FFT变换：

X = fft(x);

这个操作会返回一个和输入数组长度相同的复数数组。我们可以使用Matlab的disp函数打印出这个数组：

disp(X);

这个例子的输出结果如下：

   36.0000 + 0.0000i   -4.0000 + 9.6569i   -4.0000 + 4.0000i   -4.0000 + 1.6569i   -4.0000 + 0.0000i   -4.0000 - 1.6569i   -4.0000 - 4.0000i   -4.0000 - 9.6569i

可以看到，输出结果是一个长度为8的复数数组。

为了验证FFT的正确性，我们可以手动计算这个输入数组的FFT结果，然后将结果与Matlab计算的结果进行比较。FFT算法的计算过程可以用以下公式表示：

X k = ∑ n = 0 N − 1 x n e − i 2 π k n / N X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-i2\pi kn/N} Xk​=n=0∑N−1​xn​e−i2πkn/N

其中， x n x_n xn​是时域上的信号序列， X k X_k Xk​是频域上的信号序列， k k k为频率编号（ 0 ≤ k < N 0\leq k < N 0≤k<N）， N N N为信号长度。

对于输入数组 x = [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ] x=[1,2,3,4,5,6,7,8] x=[1,2,3,4,5,6,7,8]，我们有 N = 8 N=8 N=8。因此， X 0 X_0 X0​的计算公式为：

X 0 = ∑ n = 0 7 x n e − i 2 π 0 n / 8 = 36 X_0 = \sum_{n=0}^{7}x_n e^{-i2\pi 0n/8}=36 X0​=n=0∑7​xn​e−i2π0n/8=36

接下来，我们可以计算 X 1 X_1 X1​：

X 1 = ∑ n = 0 7 x n e − i 2 π 1 n / 8 = − 4 + 9.6569 i X_1 = \sum_{n=0}^{7}x_n e^{-i2\pi 1n/8}=-4+9.6569i X1​=n=0∑7​xn​e−i2π1n/8=−4+9.6569i

以此类推，我们可以计算出所有的 X k X_k Xk​。最终结果应该与Matlab计算的结果一致。

简单fft变换和频谱

以下是一个简单的Matlab代码实现FFT变换：

% 生成测试信号Fs = 1000;      % 采样频率t = 0:1/Fs:1-1/Fs;   % 时间向量x = 1*sin(2*pi*100*t); % 信号% 绘制信号图subplot(2,1,1);plot(t,x);title('信号');xlabel('时间 (s)');ylabel('幅度');% 计算FFTN = length(x);X = fft(x);f = Fs*(0:(N/2))/N;% 绘制FFT图subplot(2,1,2);plot(f,abs(X(1:N/2+1)));title('FFT');xlabel('频率 (Hz)');ylabel('幅度');

在这个例子中，我们生成了一个频率为100Hz的正弦信号。我们使用Matlab的fft函数计算FFT，并将结果绘制成幅度谱。注意，在绘制幅度谱时，我们只绘制了频率为正的一半，因为FFT算法输出的结果是对称的。

求取功率谱

通过FFT变换可以得到信号的幅度谱，但是为了更好地了解信号特性，我们通常需要求取信号的功率谱密度。功率谱密度描述了信号在不同频率下的功率分布情况。

求取功率谱的方法是，将信号进行FFT变换后，将每个频率上的幅度平方除以信号长度，并乘以一个系数，即可得到功率谱密度。具体公式如下：

P k = 2 ∣ X k ∣ 2 N P_k=\frac{2|X_k|^2}{N} Pk​=N2∣Xk​∣2​

其中， P k P_k Pk​是频率为 k k k的功率谱密度， X k X_k Xk​是频率为 k k k的信号幅度， N N N是信号长度。

以下是一个简单的Matlab代码实现求取功率谱：

% 生成测试信号Fs = 1000;      % 采样频率t = 0:1/Fs:1-1/Fs;   % 时间向量x = 1*sin(2*pi*100*t); % 信号% 绘制信号图subplot(2,1,1);plot(t,x);title('信号');xlabel('时间 (s)');ylabel('幅度');% 计算FFTN = length(x);X = fft(x);f = Fs*(0:(N/2))/N;% 计算功率谱P = (2*abs(X(1:N/2+1)).^2)/N;% 绘制功率谱图subplot(2,1,2);plot(f,P);title('功率谱密度');xlabel('频率 (Hz)');ylabel('功率');

注意，我们在计算功率谱时，使用了一个系数 2 2 2，这是因为我们只绘制了频率为正的一半，而实际上信号的功率谱是对称的。

结论

本文介绍了如何使用Matlab实现FFT变换，并求取信号的功率谱密度。通过FFT变换，我们可以将信号从时域转换到频域，进一步了解信号的特性。

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