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AVL 树
a. AVL树的实现
（一）树的构建
（二）树的插入
AVL 树
AVL 树又叫平衡二叉树，它也有搜索二叉树的性质，但是：当向二叉搜索树中插入新结点后，能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度
a. AVL树的实现
（一）树的构建
代码
template<class K>struct node{node(const K& t){s = t;}node* left = nullptr;node* right = nullptr;node* parent = nullptr;K s;int _bf = 0;};// _bf 是平衡因子，记录左右子树之差，这里我们用 右子树高度 - 左子树高度
// parent 记录它们的父节点
（二）树的插入
实现原理和思路
插入前半部分和搜索二叉树一样，但是在插入时，时刻更新每个节点的平衡因子，和每个节点的父节点，如果向某个父节点插入右子树，则平衡因子++，插入左子树，平衡因子--（这里实现的平衡因子是 右子树高度 - 左子树高度）
插入一个节点后，影响的不只是父节点的平衡因子，还有可能是父节点的父节点的平衡因子
因此，平衡因子有三种可能：
如果父节点的平衡因子是 -1 或者 1则父节点的原来的平衡因子是 0 （左右子树平衡），而现在平衡被破坏，则它的父节点的平衡因子也要更改（所以我们需要向上更改父节点的平衡因子，直到父节点为空，或者平衡因子不属于这一种情况）
如果父节点的平衡因子是 0
则现在的树已经平衡了，也不会影响它的父节点的平衡因子，不做任何处理，直接 break
如果父节点的平衡因子是 2 或者 - 2则此时AVL树要保持左右子树一定高度（发生旋转）
代码大框架（里层实现没有完成）
template<class K>class bin_node{public:typedef node<K> Node;bool insert(K & t){if (_root == nullptr){_root = new Node(t);return true;}Node* _parent = _root;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->s > t){_parent = cur;cur = cur->left;}else if (cur->s < t){_parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}}cur = new Node(t);if (cur->s > _parent->s){cur->parent = _parent;_parent->right = cur;_parent->_bf++;}else{cur->parent = _parent;_parent->left = cur;_parent->_bf--;}while (_parent){if (_parent->_bf == 1 || _parent->_bf == -1){cur = _parent;_parent = _parent->parent;if (_parent){if (_parent->s > cur->s){_parent->_bf--;}else{_parent->_bf++;}}}else if (_parent->_bf == 2 || _parent->_bf == -2){ //旋转（代码实现在后面）}else if(_parent->_bf == 0){break;}else{assert(false);}}return true;}private:Node* _root = nullptr;}；
旋转原理
探讨什么时候发生旋转
第一种情况
2. 第二种情况
针对第一种情况，举几个示例再细分一下：（向 c 插入节点）
综上：
左单旋：SubR的左子树链接root，root的右子树链接SubRL
我们容易发现，对于发生左单旋的树，root , SubR ,SubRL 的平衡因子都是 0
发生这个场景， root 的平衡因子是 2 ，SubR 的平衡因子是 1
针对第二种情况：（向 a 插入节点）
综上：
SubL的右子树链接root , root的左子树链接SubLR
我们容易发现，对于发生左单旋的树，root , SubL ,SubLR 的平衡因子都是 0
发生这个场景， root 的平衡因子是 -2 ，SubL 的平衡因子是 -1
回到第一种情况：（向 b 插入节点）
综上：
先右单旋，再左单旋
此情况发生在 root 的平衡因子为 2 ，SubR的平衡因子为 - 1
其它的情况照例分析即可（如 h = 1 是 ，插入是右子树）
回到第二种情况（向 b 插入节点）
同理可得： 先左单旋，再右单旋
此情况发生在 root 的平衡因子为 -2 ，SubR的平衡因子为 1
注意：
注意 根节点特殊情况 和 节点之间的相连（尤其是父节点的链接）平衡因子的修改最好举例画图
完整代码
template<class K>struct node{node(const K& t){s = t;}node* left = nullptr;node* right = nullptr;node* parent = nullptr;K s;int _bf = 0;};template<class K>class bin_node{public:typedef node<K> Node;bool insert(K & t){if (_root == nullptr){_root = new Node(t);return true;}Node* _parent = _root;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->s > t){_parent = cur;cur = cur->left;}else if (cur->s < t){_parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}}cur = new Node(t);if (cur->s > _parent->s){cur->parent = _parent;_parent->right = cur;_parent->_bf++;}else{cur->parent = _parent;_parent->left = cur;_parent->_bf--;}while (_parent){if (_parent->_bf == 1 || _parent->_bf == -1){cur = _parent;_parent = _parent->parent;if (_parent){if (_parent->s > cur->s){_parent->_bf--;}else{_parent->_bf++;}}}else if (_parent->_bf == 2 || _parent->_bf == -2)//旋转{if (_parent->_bf == 2){if (cur->_bf == 1){RotateR(_parent);break;}else if (cur->_bf == -1){RotateRL(_parent);}else{assert(false);}}else{if (cur->_bf == -1){RotateR(_parent);}else if (cur->_bf == 1){RotateLR(_parent);}else{assert(false);}}break;}else if(_parent->_bf == 0){break;}else{assert(false);}}return true;}void InOder(){_InOder(_root);}private:void _InOder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOder(root->left);cout << root->s << " ";_InOder(root->right);}void RotateLR(Node* root) //左右旋转{Node* SubL = root->left;Node* SubLR = SubL->right;int n = SubLR->_bf;RotateL(SubL);RotateR(root);if (n == -1){SubL->_bf = 0;SubLR->_bf = 0;root->_bf = 1;}else if (n == 1){SubLR->_bf = 0;SubL->_bf = -1;root->_bf = 0;}else if (n == 0){SubLR->_bf = 0;SubL->_bf = 0;root->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* root) //右左旋转{Node* SubR = root->right;Node* SubRL = SubR->left;int n = SubRL->_bf;RotateR(SubR);RotateL(root);if (n == -1){SubR->_bf = 1;SubRL->_bf = 0;root->_bf = 0;}else if (n == 1){SubRL->_bf = 0;SubR->_bf = 0;root->_bf = -1;}else if (n == 0){SubRL->_bf = 0;SubR->_bf = 0;root->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateL(Node* root) //左单旋{Node* SubR = root->right;Node* SunRL = SubR->left;if (root == _root){_root = SubR;}else{Node* parent = root->parent;if (parent->left == root){parent->left = SubR;}else{parent->right = SubR;}}root->right = SunRL;SubR->left = root;SubR->parent = root->parent;root->parent = SubR;root->_bf = SubR->_bf = 0;}void RotateR(Node* root) //右单旋{Node* SubL = root->left;Node* SubLR = SubL->right;if (root == _root){_root = SubL;}else{Node* parent = root->parent;if (parent->left == root){parent->left = SubL;}else{parent->right = SubL;}}root->left = SubLR;SubL->right = root;SubL->parent = root->parent;root->parent = SubL;root->_bf = SubL->_bf = 0;}Node* _root = nullptr;}；
