【C++练级之路】【Lv.15】AVL树（双子旋转，领略绝对平衡之美）

点击全文阅读

快乐的流畅：个人主页

个人专栏：《C语言》《数据结构世界》《进击的C++》

远方有一堆篝火，在为久候之人燃烧！

---

文章目录

引言一、AVL树的概念二、AVL树的模拟实现2.1 结点2.2 成员变量2.3 插入2.4 旋转2.4.1 左单旋2.4.2 右单旋2.4.3 左右旋2.4.4 右左旋 三、AVL树的验证四、AVL树的性能4.1 优势4.2 缺陷4.3 适用场景

引言

之前讲解了二叉搜索树，最优情况下它具有非常好的搜索性能，但是在极端场景下，它可能退化为单支树，可以形象地称为歪脖子树~

这样的话，它搜索的时间复杂度会从O(log₂N)退化为O(N²)，完全丧失了其优良的搜索性能。那么AVL树就可以登场了，它就是为解决这类问题而生的！

一、AVL树的概念

两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了AVL树，AVL树满足两条性质：

它的左右子树都是AVL树任意结点的左右子树高度差的绝对值不超过1

这样通过控制子树高度差，让AVL树几乎完美接近于平衡，便不会出现单支树的情况，保证了优良的搜索性能，因此AVL树又称为高度平衡二叉搜索树。

二、AVL树的模拟实现

2.1 结点

template<class K, class V>struct AVLTreeNode{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;//balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}};

细节：

使用三叉链，增加了指向parent的指针使用KV模型，数据存储键值对pair结点存储平衡因子，用来记录左右子树高度差

注：平衡因子计算高度差，是 右子树高度 - 左子树高度

2.2 成员变量

template<class K, class V>class AVLTree{protected:typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public:protected:Node* _root = nullptr;};

2.3 插入

因为AVL树也是二叉搜索树，所以默认成员函数和遍历与之前写的没什么不同，这里重点讲解AVL树的插入。

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent)//讨论平衡因子{if (cur == parent->_right){++parent->_bf;}else{--parent->_bf;}if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}

思路：

以二叉搜索树的方式正常插入讨论平衡因子，以及调整结构

---

这里的重点在于如何讨论和调整平衡因子(bf)。

首先，插入cur结点，调整parent结点的bf，左减右加讨论parent的bf bf为0bf为1或-1bf为2或-2

---

bf为0时：

分析：此时没有增加高度，而是补上缺口，整棵树是平衡的，直接break即可

---

bf为1或-1时：

分析：此时增加了局部子树的高度，不确定有没有影响整体的高度差，所以要继续向上调整

parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;

---

bf为2或-2时：

此时bf已经超出平衡限制区间，需要进行结构调整，我们称之为旋转。

2.4 旋转

旋转分为两大类：单旋和双旋。而单旋分为左单旋和右单旋，双旋分为左右旋和右左旋。

2.4.1 左单旋

场景：右部外侧插入

过程：

parent接过subR的左子树subRLsubR左边再链接parent

---

void RotateL(Node* parent)//左单旋{Node* grandparent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (grandparent){if (grandparent->_right == parent){grandparent->_right = subR;}else{grandparent->_left = subR;}}else{_root = subR;}subR->_parent = grandparent;parent->_bf = subR->_bf = 0;}

细节：

大体是三步链接，注意双向链接注意判空（subRL，grandparent）如果判空，注意_root的传递最后调整平衡因子_bf

2.4.2 右单旋

场景：左部外侧插入

过程：

parent接过subL的右子树subLRsubL右边再链接parent

---

void RotateR(Node* parent)//右单旋{Node* grandparent = parent->_parent;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (grandparent){if (grandparent->_right == parent){grandparent->_right = subL;}else{grandparent->_left = subL;}}else{_root = subL;}subL->_parent = grandparent;parent->_bf = subL->_bf = 0;}

细节：同左单旋

2.4.3 左右旋

场景：左部内侧插入

过程：

先对subL进行左单旋再对parent进行右单旋

---

void RotateLR(Node* parent)//左右旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

细节：

这里旋转直接复用前面单旋的代码主要的重点，在于平衡因子bf的讨论 bf为1，在subLR的右侧插入bf为-1，在subLR的左侧插入bf为0，插入subLR（之前为空）

2.4.4 右左旋

场景：右部内侧插入

过程：

先对subR进行右单旋再对parent进行左单旋

---

void RotateRL(Node* parent)//右左旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 1){parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

细节：同左右旋

---

综上所述，旋转的目的：保证平衡，同时降低树的高度。

三、AVL树的验证

我们主要验证左右子树高度是否平衡，即高度差是否小于等于1

bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}int Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftH = Height(root->_left);int rightH = Height(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftH = Height(root->_left);int rightH = Height(root->_right);if (rightH - leftH != root->_bf){cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(rightH - leftH) <= 1&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}

细节：

为了方便计算高度，写一个Height函数在子函数递归中，计算高度差是否小于等于1与此同时，还要检查平衡因子是否正常

四、AVL树的性能

4.1 优势

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2​(N)。

4.2 缺陷

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

4.3 适用场景

因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

真诚点赞，手有余香

点击全文阅读