文 | 王启隆
出品｜《新程序员》编辑部
多层感知器（MLP, Multilayer Perceptron）作为人工神经网络的一个基本架构，一直在历史上扮演着至关重要的角色。MLP 可以被视为深度学习领域的“基石”或“基础构件”，它的意义在于：
基础模型：MLP 作为最早被广泛研究和应用的神经网络模型之一，是许多复杂深度学习架构的起点和基础。它奠定了神经网络能够解决非线性问题的基础，是理解更高级神经网络结构的入门。
功能强大：虽然结构相对简单，但 MLP 已经能够处理复杂的分类和回归任务，展示了神经网络的强大适应能力和学习能力，为后续深度学习的发展铺平了道路。
理论与实践结合：MLP 不仅在理论上证明了神经网络的普遍近似能力，而且在实践中也取得了显著的性能表现，特别是在早期的手写数字识别等机器学习应用当中。
但 AI 发展到今天，MLP 几乎一点没变，人类的需求却越来越多了。MLP 在庞大的需求压力下暴露出了一个又一个缺点：可解释性和交互性不足、处理大尺寸图像的时候计算复杂且有过拟合问题、缺乏灵活性和适应性、自动特征提取方面的能力较弱……
4 月 30 日，全新的神经网络架构 KAN 横空出世。它的使命只有一个：取代 MLP。
KAN 全称 Kolmogorov-Arnold Networks，其最大意义就是作为 MLPs 最具潜力的替代品，提出了全新的架构思路。KAN 受到 Kolmogorov-Arnold 表示定理的启发，在以下几个方面展现了显著的优势：
增强的准确性与效率：与传统 MLPs 相比，KANs 能够使用更少的参数达到相同或更好的准确度，尤其是在数据拟合和偏微分方程求解等任务中。这意味着在处理复杂科学和数学问题时，KANs 可能提供更高效的解决方案。
可学习的激活函数：KANs 的一个核心创新点是将可学习的激活函数置于边（权重）上，而非节点（如 MLPs）。这不仅允许模型学习到更复杂的函数关系，还使得每个权重参数由一个参数化的样条函数代替，从而提高了模型的表达能力。
增强的可解释性：KANs 的结构可以直观地被可视化，并且容易与人类用户交互，这有助于科学家们理解模型内部的工作原理，甚至直接参与到模型的优化和“发现”过程中。通过手动调整和简化 KANs，科学家们能够引导模型发现或验证数学与物理定律，促进 AI 与科学家之间的合作。
适应性和灵活性：利用样条基函数的内在局部性，KANs 支持适应性设计和训练，比如引入多级训练策略，提高模型的准确性和训练效率。这种适应性使得 KANs 能更好地匹配不同任务的需求。
自动发现高效结构：实验结果显示，自动发现的 KAN 结构通常比人为构建的更为紧凑，表明 Kolmogorov-Arnold 表示可能在某些情况下能以比预期更高效的方式压缩和表示信息，尽管这也可能给模型的直接可解释性带来挑战。
此前，在 CSDN 新程序员对图灵奖得主 Joseph Sifakis 的采访中，这位老教授曾感叹符号主义的落寞，并对符号主义 AI 的理性特征大表赞赏。如今数学重新遇上了人工智能，脱胎换骨的符号人工智能或将以 KAN 的身份重新归来。
看到这里，你可能已经发现了：KAN 的数学解释能力相当超群，且它最终要解决的，很可能就是曾经被视为“蹭热点”“伪命题”“不可能”的 AI4Science。依靠 KAN 在科学相关任务的能力，让人工智能，助力未来的科研与自然规律发现。
论文链接：https://arxiv.org/html/2404.19756v1（HTML 版本）https://arxiv.org/pdf/2404.19756v1（PDF 版本）
GitHub 链接：https://github.com/KindXiaoming/pykan
66 年前的定理
KAN 的灵感来源：Kolmogorov-Arnold 表示定理是个啥？
Kolmogorov-Arnold 表示定理（Kolmogorov-Arnol'd Representation Theorem 或 Kolmogorov Superposition Theorem）是数学中的一个重要结果，由苏联数学家安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫戈罗夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）和弗拉基米尔·伊戈列维奇·阿诺尔德（Vladimir Igorevich Arnold）分别独立提出。这个定理表明了连续函数的一种非常有趣的表示形式，它对于理解函数的复杂性以及在某些领域，如机器学习、科学计算和函数逼近有着重要的意义。
Kolmogorov-Arnold 定理大致上是说，任何在 n 维实数空间上的连续函数 f(x)，其中 x = (x1, x2, ..., xn)，都可以表示为一个单一变量的连续函数 h 和一系列连续的双变量函数 gi 和 gi,j 的组合。具体来说，定理表明存在这样的表示形式：
其中，h 是一个在实数轴上的连续函数，而每个 gi 和 gi,j 都是定义在实数上的连续双变量函数。这个表示表明，即使在一个高维空间中的复杂函数，也可以通过一系列较低维度的函数操作来重构。
1957 年，“现代概率论之父”科尔莫戈罗夫（下图左）首次提出了这个定理，展示了一种将多变量函数简化为单变量函数叠加的方法，这一成果在当时是极为创新的。后来，阿诺尔德（下图右）对科尔莫戈罗夫的工作进行了独立的证明和拓展，使得这个定理得到了更广泛的注意和应用。
无巧不成书，在 Kolmogorov-Arnold 表示定理诞生一年之后的 1958 年，被后世称为“神经网络之父”的弗兰克·罗森布拉特（Frank Rosenblatt）在他的著作《Perceptron》中介绍了一个包含输入层、隐藏层（该隐藏层具有随机且不进行学习的权重）以及具有学习连接的输出层的分层网络，如今这被视为 MLP 的雏形，它并不等同于现代意义上具有反向传播能力的 MLP，也未形成深度学习网络的概念。
KAN 的设计灵感正是来源于 Kolmogorov-Arnold 表示定理。前面提到，该定理表明，任何多元连续函数都可以表示为单变量连续函数的两层嵌套叠加。基于这一理论，研究人员创新性地将此数学概念应用到了神经网络架构的设计中，创造出了 KAN。
当然，KAN 的名字 Kolmogorov-Arnold Network 也正是直接以这两位数学家命名，未来 KAN 若是成为了机器学习的范式，全世界都需要记住这两位的名字……
KAN 的核心创新在于，它不是像传统 MLP 那样在网络的神经元上应用固定的激活函数，而是在权重上应用可学习的激活函数。这些一维激活函数被参数化为样条曲线，从而使得网络能够以一种更灵活、更接近 Kolmogorov-Arnold 表示定理的方式来处理和学习输入数据的复杂关系。这种设计使得 KAN 能够以一种理论上更高效、更通用的方式逼近复杂的函数关系，理论上可能在某些任务上超越了 MLP 的性能。
简而言之，KAN 是 Kolmogorov-Arnold 表示定理的一次直接应用，它试图通过参数化的激活函数和特殊的网络架构设计，实现对复杂数据分布更优的建模能力，从而在实践中展现出相较于传统 MLP 架构的优越性。
Yes we KAN！
KAN 的论文一作刘子鸣（下图左）是一位兼具物理与机器学习背景的研究者，他出生于武汉，在北京大学物理学系完成本科学业，早年还在微软亚洲研究院实习。如今刘子鸣正于麻省理工（MIT）与人工智能与基础科学研究所（IAIFI）攻读博士三年级，师从 Max Tegmark（下图右）。KAN 的成果正是由刘子鸣与老师 Max Tegmark 及来自 MIT、东北大学、IAIFI 和加州理工学院（Caltech）的优秀合作者共同完成。
刘子鸣的研究热情聚焦于 AI 与物理学（乃至整个科学界）的交融地带，探索三个核心方向：
AI 背后的物理学（Physics of AI）。从物理学原理洞悉 AI 本质：“简约如物理的 AI”；
物理学启迪的 AI（Physics for AI）。借鉴物理规律创新 AI 技术：“自然流畅如物理的 AI”；
助力物理学的 AI（AI for physics）。以 AI 强化物理学研究：“能力比肩物理学家的 AI”。
以此愿景为核心，他致力于运用 AI+物理学打造更加美好的世界，涉猎领域广泛，涵盖物理定律发掘、物理启发的生成模型、机器学习理论及模型可解释性等诸多方面。
在 X 上，刘子鸣也是进一步分享了许多技术细节：
多层感知器（MLPs）的设计理念受到了万能近似定理（UAT）的启发。这个定理表明，在理想条件下，具有足够多隐藏层的 MLP 能够以任意精度逼近任何连续函数。然而，它并没有直接说明固定宽度（即网络的层数和每层的神经元数量保持不变）的网络能否达到无限的预测精度。而基于 Kolmogorov-Arnold 表示定理的 KANs，则在满足一定条件的情况下，理论上能够实现固定宽度网络对某些函数的无限精度逼近（事实上也伴随着特定的限制或前提条件）。
传统上，MLPs 在网络中的神经元位置应用激活函数。而 KANs 则可以打破常规，将（可学习的）激活函数直接置于权重上。
神经网络的“scaling laws”：KANs 相比 MLPs 展现出更快的规模增长速度，这一优势在数学上得益于 Kolmogorov-Arnold 表示定理的坚实基础。所以 KANs 的规模增长指数不仅在理论上成立，实际上也可通过实验观察到，证实了其在实践中同样高效的扩展能力。
KANs 在函数拟合任务中表现出更高的准确性，例如对于特定函数的拟合，它们的性能超越了传统的 MLPs。
在求解偏微分方程（如泊松方程）的问题上，KANs 相较于 MLPs 展现了更高的求解精度。
……
MLPs 不行，KANs 行——千言万语束成一句话：Yes we KAN！
再让我们进一步阅读论文，看看还有哪些奥秘：
架构设计
KANs 的核心创新在于它们将传统的 MLPs 中的节点激活函数转移到了网络的边（权重）上。论文中提到，“KANs 在边上具有可学习的激活函数，而 MLPs 则在节点上设置固定激活函数。”
具体实现上，KAN 的所有权重参数被单变量函数取代，这些函数被参数化为B样条曲线，每个一维函数都具有可训练的局部 B 样条基函数系数（参见下图右）。这种设计允许网络更灵活地逼近复杂的函数关系。
克服传统限制
论文指出，尽管原始的 Kolmogorov-Arnold 表示仅对应于两层网络，但作者们通过类比 MLPs 的层次结构，提出了一种深化 KAN 的方法。他们定义了一个 KAN 层，它由一组一维函数构成，这些函数以矩阵形式组织，输入和输出维度分别为 nin 和 nout。
文中阐述：“一个具有 nin 维输入和 nout 维输出的 KAN 层可以定义为 1D 函数的矩阵 Φ={ϕq,p}，其中函数 ϕq,p 具有可训练参数。” 这一突破使得 KAN 能够通过堆叠更多这样的层来构建更深层的网络，从而理论上能够更加精确地逼近任意复杂度的函数。
使用网格扩展（Grid Extension）以提升精度
KANs 的一个关键优势在于它们能够利用样条函数的特性，通过增加网格的精细度（即网格扩展），理论上可以无限接近目标函数的精度。与 MLPs 不同，后者提高精度主要依赖于增加网络的宽度和深度，这通常伴随着训练成本的大幅增加且效果提升缓慢，KANs 则可以通过简单地细化其内部样条函数的网格来实现，无需从头开始重新训练更大的模型。
作者通过一个示例（包含变量 x 和 y 的复合函数）来展示网格扩展的效果，说明随着网格点数量的增加，训练损失迅速下降，但测试损失呈现先降后升的 U 形曲线，反映了偏差-方差权衡的问题。这一观察结果提示，存在一个最优的网格大小，即插值阈值，使得模型既不过拟合也不欠拟合，达到最佳泛化性能。
研究发现，较小规模的 KANs（例如上图 [2,1,1] 配置）相比较大规模的（如上图 [2,5,1] 配置）在特定情况下能取得更好的测试性能，这突显了选择合适 KAN 架构的重要性。此外，KANs 还引入了外部自由度（节点连接构成的计算图）与内部自由度（激活函数内的网格点）的概念。前者负责学习多变量的组合结构，而后者专注于学习单变量函数，这两种自由度的结合使 KANs 具有独特的优势。
应用实例
在数学和物理学的应用上，论文提到了 KANs 能够辅助科学家发现或重新发现定律。例如，在无监督模式下，KANs 成功地重新发现了已知的数学关系，如体积 V 与密度 μr 及长度 λ 的关系 V=μrλ。此外，KANs 还探索了安德森局域化现象，这是一种量子系统中的重要现象，其中随机无序导致电子波函数局限，进而阻止所有传输。论文提及：“在三维中，存在一个临界能量，它划分了扩展态与局域态，称为移动边缘。对这些移动边缘的理解对于解释固体中的金属-绝缘体转变等基本现象至关重要。”
未来是用 MLP 还是 KAN？
刘子鸣在 X 上回答了这个问题，并给出了理由：
根据我们的实证研究结果，我们相信 KANs 凭借其高准确性、参数效率及可解释性，将成为 AI 与科学结合领域中一个极为有用的模型或工具。至于 KANs 在机器学习相关任务上的应用潜力，目前更多处于推测阶段，这将是未来研究的课题。
事实上，论文中也探讨了这个问题。当前，KANs 面临的主要瓶颈在于其训练速度较慢。在相同参数数量下，KANs 的训练速度通常比 MLPs 慢大约 10 倍。研究团队在优化 KANs 的效率方面尚未进行深度探索，因此他们认为 KANs 训练速度慢更多是一个有待未来工程技术改进的问题，而非根本性局限。
如果追求快速训练模型，MLPs 无疑是首选。但在其他情形下，尤其是在乎模型的可解释性和/或预测准确性，且不把训练速度视为首要考量因素时，KANs 应是可媲美甚至优于MLPs的选择，值得尝试。
下图的决策树有助于判断何时采用 KAN。简而言之，如果你重视模型的可解释性和/或追求高精度，且不介意较慢的训练速度，作者推荐尝试使用 KANs。
